GW3.5AA-SUP3/MB

>>キャンセルしました･･。
　その対応は正しかったと思います。

考えられる原因と対応策としましては・・・

１）物理的にHDDが故障してしまった
　バッファローなどが展開するHDDデータ復旧サポートを利用する

２）論理的にHDD内のデータが一部壊れた
　復旧ソフトウェアを利用して復旧する

３）ケースその物が故障してしまった
　新しいケースを購入するか、デスクトップなら直接接続する等して読み取る

４）アダプタが故障して制御に必要な電力を供給できない
　形状・＋－・供給量などを確認して、別のアダプタを接続してみる

５）ケーブルが劣化している
　新しいケーブルを使って、正常に動くかを確認する
**基本的にUSB3用でなくても、遅くなる以外の問題はありません。
**ハブなどを使っている場合は、PCに直接接続する

６）接続部が劣化している
　別の端子に接続して、同じ挙動を繰り返すかを確認

ぱっと思い立ったのはこれぐらいです。
最後、試してみる順序について簡単に捕捉してみます。

<注意>再度接続する前に・・・
直前に接続していたときの「音」を思いだしてください。
「うぃーん　かたかた　うぃーん　かたかた」　と、データを読み込めていない、読み込んでいないはずなのに「かたかた」が連続して続いていたら、それ以上の通電は注意してください。ハードが既にクラッシュしている可能性が高いです。１）　を検討することをお勧めします。

後は、　６→５→４→３→２　の順番で読み込めるか確認するのがいいのではないかと思います。手間が掛からない順序だと思うので。もちろん、実行できない内容はスキップです。

状況を総合的にみると、２台のケースで正常に読み取れないということなので、HDDの故障の線が濃厚ではないかと思います。
２台で挙動が違うのは、内部に入っているソフトウエアのバージョンなどが起因している可能性があります。

今後、考えられる対策としては、大事なデータであるなら専門の業者に任せるというのが、最善手ではないかと思います。
URLは業者の一例で、玄人志向の母体である[BUFFALO]が提供している、データ復旧サービスです。
　https://www.buffalo.jp/contents/service/recovery/
(関連会社だから、載せてもおそらく問題なし)

次ぎに、物理的な破損ではないことを期待して、破損したファイルシステムの修復を行うというのもあります。その一例です。探すと、有料・無料いくか出てきます。

TestDisk(英語wiki)
https://en.wikipedia.org/wiki/TestDisk

日本語による使い方説明
https://pctrouble.net/boot/repair_ntfs.html
(こちらはフリーソフトだから、載せてもたぶん問題なし。ただ、まったく使ったことがないので、内容の安全性等々は自己責任でお願いします。)

わかる範囲、考えられる範囲で書いてみましたが、少しでも参考になれば幸いです。